圆的切线启发式教学

## 目的 
1. 启发学生数学兴趣
2. 发散性思维 
3. 理解代数与几何作为数学的两个分支，联系紧密，在研究一个数学问题的时候，代数方法，几何方法各有有点。 代数的严谨，思路简单，几何的巧妙
所有的问题，从两个角度来分析，代数，几何

##过平面上一点做圆的切线
> 定理1.
过圆外一点可以做两条圆的切线，过圆上一点可以做一条圆的切线，过圆内一点不存在圆的切线

注释： 我们试着用代数来证明这个结论，在坐标系下，并试着求出切线方程

想法：建立坐标系，设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$,设点的坐标为$(x_0,y_0)$,我们首先有
$$\begin{cases}
(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2 \Rightarrow (x_0,y_0)在圆内 \\
(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2 \Rightarrow (x_0,y_0)在圆上\\
(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2 \Rightarrow (x_0,y_0)在圆外
\end{cases}
$$
设过 的直线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$, 联立直线与圆的方程
$$\begin{cases}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2  \,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ①\\
y-y_0=k(x-x_0) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ②
\end{cases}
$$
②式代入①式，消去$y$,得到
$$
(x-a)^2+\big(k(x-x_0)+y_0-b\big)^2=r^2 
$$
整理得
$$
(k^2+1)x^2-(2a+2k^2x_0+2k\cdots)x+a^2+k^2x_0^2+\cdots=0 \cdots ③
$$
直线与圆相切，等价于直线与圆只有一个交点，等价于方程③的判别式$\Delta=0$,代入计算量太大，血崩

思考简单形式，运用平移
对于圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$与点$(x_0,y_0)$,考虑过点的直线与圆的相交情况，运用平移，将其整体平移到圆$x^2+y^2=r^2$与点$(x_0-a,y_0-b)$，问题转化为
圆$x^2+y^2=r^2$ 与点$(x_0,y_0)$

设过$(x_0,y_0)$的直线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$, 联立直线与圆的方程
$$\begin{cases}
x^2+y^2=r^2  \,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ①\\
y-y_0=k(x-x_0) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ②
\end{cases}
$$
②式代入①式，消去$y$,得到
$$
x^2+\big(k(x-x_0)+y_0\big)^2=r^2 
$$
整理得
$$
(k^2+1)x^2+（2ky_0-2k^2x_0）x+k^2x_0^2-2kx_0y_0+y_0^2-r^2=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ③
$$
$$
\Delta =(2ky_0-2k^2x_0)^2-4(k^2+1)(k^2x_0^2-2kx_0y_0+y_0^2-r^2)=4(k^2+1)r^2-4(y_0-kx_0)^2=4\{(r^2-x_0^2)k^2-2x_0y_0k+r^2-y_0^2\}
$$
$$
直线与圆相切\Rightarrow 上述方程有一个解  \Rightarrow  \Delta =0 
$$
方程
$$
(r^2-x_0^2)k^2-2x_0y_0k+r^2-y_0^2  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdots \cdots ④
$$
为一元二次方程
$\Delta= 4x_0^2y_0^2-4(r^2-x_0^2)(r^2-y_0^2)=4\big(r^2(x_0^2+y_0^2-r^2) \big)$

分情况讨论 
$$
\begin{cases}
x_0^2+y_0^2-r^2 =0 \Rightarrow \Delta=0 \Rightarrow ④只有一个解 \\
x_0^2+y_0^2-r^2>0 \Rightarrow \Delta>0 \Rightarrow ④有两个解  \\
x_0^2+y_0^2-r^2<0 \Rightarrow \Delta>0 \Rightarrow ④没有解 
\end{cases}
$$ 
如果$x_0^2+y_0^2-r^2=0$ 方程④变为 $y_0^2k^2-2x_0y_0k+x_0^2 =0 \Rightarrow (ky_0-x_0)^2=0\Rightarrow k=\frac{x_0}{y_0}$
切线方程，用点斜式
$y-y_0=\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$

> 所有的问题只和圆与点的相对位置有关，可用平移化简，重要思想

代数是一种可靠的，但是暴力的方式

> 定理2.
设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$,过圆上一点$M(x_0,y_0)$可以做一条圆的切线，切线方程为 
$$
(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2 
$$
Remark: 用平分秋色四个字来记住这个公式

证明方法一： 代数 如上的证明，用平移
证明方法二： 几何，用向量 
在直线上任取一点$N$, 由切线的性质，$OM\perp MN$ 
$OM=(x_0-a,y_0-b)$ 直线的方向向量与$OM$垂直，可设为 
$(b-y_0,x_0-a)$ 
> 引理1. 
已知直线过点$A(x_0,y_0)$,方向向量为$(a,b)$,则直线的方程为 $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

证明： 设直线上一般的点为$M(x,y)$,则向量 $AM=(x-x_0,y-y_0)$,向量$AM$与方向向量$(a,b)$平行，所以 $(x-x_0)b-(y-y_0)a=0$ 整理得直线方程

由引理得，切线得方程为 $(x-x_0)(x_0-a)-(y-y_0)(b-y_0)=0$，整理得 $(x-x_0)()....$

证明方法三
$$
ON.OM=r^2 \Rightarrow (x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2 
$$

探究 对于不在圆上的一个点$(x_0,y_0)$,直线$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$有什么几何意义？ 
点在圆外 
点在圆内

Mixiu

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