Rockdu's Blog

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

输入输出样例

4 7

3

说明

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；

对于40%的数据，满足N≤18；

对于70%的数据，满足N≤550；

对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

首先，我们可以将合法序列分为开头递减的序列和开头递增的序列。并且容易证明它们的数量是一样的。

那么考虑开头单增的序列，我们用dp[i][j]表示用1~i这些数组成的序列并且结尾为1~j的方案数。现在考虑转移：首先所有的dp[i][j - 1]的状态都是合法的，我们把它加入dp[i][j]的贡献。然后我们考虑对于最后上升，那么可以从dp[i - 1][j - 1]转移过来，如果下降那么可以从dp[i - 1][i - j]转移过来。注意到我们只考虑开头上升的方案，并且波动序列具有对称性！(一个开头递增序列对应一个开头递减序列)所以 [上升的dp[i - 1][j - 1]] = [下降的dp[i - 1][i - j]]，于是我们对于开头上升的一段dp[i][j]，只需要每次从dp[i - 1][i - j]转移即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int dp[4205][4205];
int n;
int main() {
    register int p;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    dp[1][1] = 1;
    for(register int i = 2; i <= n; ++i) 
        for(register int j = 1; j <= n; ++j)
            (dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][i - j]) %= p; 
    printf("%d", (dp[n][n] << 1) % p);
    return 0;
}