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 2017-01-23 22:21:38 |  0 Comments  |  组合数 高精度

清北省选模拟赛 T1 积水 ——组合数+高精度

                                            积水

问题描述

       清北学堂某幢楼的屋顶上要安装一根横梁,其横截面是一个有N个顶点的直角多边形,也就是说,多边形是每个内角不是90°就是270°,将多边形放入直角坐标系中,它的每条边都与坐标轴平行。为了减轻承重,横梁不能出现在下雨天积水的情况,而且由于施工队不靠谱,横梁的安放角度是不确定的,所以需要保证横梁在被转了0°、90°、180°和270°时都不会积水。例如,图1和图2 的横截面都表示了一根合法的横梁,但图3和图4就显然不合法了。

          图1                          图2                       图3                           图4


       现在,给出直角多边形的顶点数N,求有多少个长度为N的01序列对应了某种合法的横梁横截面。

输入格式

       一行1个整数N。

输出格式

       一行1个整数,表示满足要求的01序列数量。

样例输入

6

样例输出

6

数据范围

对于10%的数据,n<=15;

对于30%的数据,n<=50000;

对于50%的数据,n<=106

对于100%的数据,n<=1010000

题解

省选模拟赛完挂,感觉自己吃枣药丸。。。

这是我省选模拟唯一做出来的题(做了3个小时,高精度调了老长时间,感觉自己码力巨弱,连普及组的选手都快不如了)……

不多说,看这道题的性质。

数据是1010000啊,所以这道题一定有什么性质……

我们枚举序列,注意到如果有两个以上的0连续出现(哪怕是一个在开头一个在结尾),这样的序列一定是不合法的,这是第一条性质。

第二个注意到,90度的角(个数记为x)和270的角(个数记为y)对整个多边形的贡献(总角度)一定满足多边形内角和公式180°(n-2),化简后即x+3y=2(n-2);并且x+y=n。所以我们在这里得到了什么?一个二元一次方程组!也就是说,对于某个确定的n,其多边形中的x和y一定是唯一确定的。

这两条性质对我们解这道题产生了极大的帮助。

然后我们开始列限制条件:

            1.首先根据第二个性质,我们知道,x=n/2+2,y=n/2-2,x-y=4.

            2.根据第二个性质,我们很容易得到,考虑合法的方案而不是不合法的方案才

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